Por que menos com menos dá mais? - Parte 2

Veja a Parte 1.

Como prometido, vamos ao que interessa.

AVISO: Se você não gosta de matemática não vai gostar do porquê. Os raciocínios são relativamente simples, mas chatos para entender. Para os que odeiam a matemática simplesmente acreditem que - com - dá +. Assim eu não estrago o dia de vocês.

Donald e a Matemática

A multiplicação entre números negativos dá um número positivo por causa da construção da multiplicação de inteiros.

Matematicamente, podemos definir um número inteiro como um par de número naturais [1].

HEIN?


Por exemplo: o número que nós conhecemos como -3 pode ser escrito como (1,4), (2,5) ou até (19,22) porque 1-4 = 2-5 = 19-22 = -3.

Nesse esquema de pares, qualquer dupla que tenha o mesmo resultado de subtração é considerada igual. Formalmente...

(a,b) = (c,d) se, e somente se, a - b = c - d [2]. Assim...

14 = (15,1) = (16,2) = (25,11) ...
2 = (3,1) = (4,2) = (52,50) ...
0 = (1,1) = (4,4) = (42,42) ...
-4 = (1,5) = (3,7) = (10,14) ...

Demora um pouco pra entender o esquema acima, mas lembre-se, a gente só tá escrevendo os números de maneira diferente. Ao invés de escrever direto -5, a gente encreve um conjunto de dois números para representá-lo, (3,8) por exemplo.

Dá pra perceber que os números positivos são aqueles que o da esquerda é maior. E os negativos são aqueles em que o da direita é o maior. Certo?

Não?

O número (5,6) é negativo porque o número da direita, 6, é maior que o da esquerda, 5. Lembre que (5,6) é uma das representações do -1, pois 5 - 6 = -1.

Pois bem. A definição de multiplicação entre inteiros é:

(a,b) x (c,d) = (a x c + b x d, a x d + b x c) [3]

Exemplo:

4 x 5 = (5,1) x (7,2) = (5 x 7 + 1 x 2, 5 x 2 + 1 x 7) = (37,17) = 20 [4]

Vamos pegar dois números negativos para multiplicar...

-2 x -3 = (3,5) x (1,4) = (3 x 1 + 5 x 4, 3 x 4 + 5 x 1) = (23,17) = +6

Sacaram como fica positivo? Vem da própria definição da multiplicação.

A gente ainda não provou o porquê - com - dá +. Apenas mostramos que -2 x -3 = +6. Para provar, teremos que mostrar que dá positivo SEMPRE, para quaisquer dois números negativos!

Na terceira e derradeira parte eu explico... Parte 3.

[1] Naturais são números inteiros positivos, ou seja, 1, 2, 3...
[2] se não não... hehe.
[3] Devem haver outras definições por aí, mas a que eu estou usando aqui é a de um livro do Dicesar Lass Fernandez.
[4] Ninguém mandou você querer saber o que tem por trás das contas que faz.

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